［摘要］Pushover分析方法作为一种结构非线性地震响应的近似计算方法，以其概念简明、操作简便、用图形方式直观地表达结构的抗震能力与需求等特点，正逐渐受到重视和推广。Pushover分析方法多用于建筑结构，且具体实施方法和结果的表达方式也有所不同。本文针对考虑桩士相互作用的钢筋混凝土桥墩，归纳与总结了Pushover分析方法的实施步骤及原理，通过实例计算，分析了不同荷载模式、不同上弹簧刚度及土层相对位移的影响，并用非线性时程分析加以验证。
关键词 Pushover分析 桩土相互作用 土弹簧
一、引言
Pushover分析方法与地震反应谱相结合，成为一种结构非线地震．响应的简化计算方法，能够计算出结构从线弹性、屈服一直到极限倒塌状态的内力、变形、塑性铰位置和转角，找出结构的薄弱部位，甚至能够得出比非线性时程分析更多的重要信息。通过Pushover分析，可以确定结构所能承受的地震烈度及在地震作用下能否达到抗震性能标准，从而判断桥梁是否需要进行加固及加固的先后顺序。这种方法主要用于进行地震作用下的变形验算，尤其是大震作用下的抗倒塌验算。
早在70年代初，Freeman就首次提出了Pushover方法，并将其与地震反应谱相结合，称之为能力谱方法，后为Tri Service两水准抗震设计规程所采用，在美国 ATC一33、ATC-40规范中也引入了能力谱方法。近年来，有关Pushover分析方法的应用和研究仍在逐渐深入，V.Kilar[6]利用伪三维教学律型讲行了非对称建筑结构的Pushover分析，K.Sasaki[3]考虑了高阶模态的影响，P．Fajfar[7]在该方法的基础上发展了N2方法。A.Ghobarah[5]提出利用两次Pushover分析结果来计算结构的损伤指数。该方法近年来引入我国后，正逐渐得到推广和应用。
二、分析步骤
Pushover分析方法多用于剪切型或框架型建筑结构，且具体实施方法有所不同。利用Pushover方法进行桥墩地震响应分析的实施步骤及原理，本文总结如下：
·第1步：数据准备
建立桥墩桩上相互作用计算模型所需的参数，包括几何尺寸腐面特性、土弹簧刚度，对于采用非线性梁单元的墩柱和桩应求出截面的弯矩一轴力相互作用曲线，也即屈服面。此外还需要一条弹性加速度位移反应谱。
·第2步：确定侧向荷载分布模式
Pushover分析的关键之一就是选择适当的侧向推力分布模式，结构在这些侧向力的作用下逐步达到目标位移或倒塌状态。侧向推力分布模式与地震作用下结构产生的惯性荷载密切相关。显然侧向推力分布的相对值是随结构单元的屈服范围而改变的，因此只能近似地假定侧向推力分布系数为一常数。对于多层建筑结构，通常假定测向推力分布模式与结构的一阶振型相似。随着楼层的增高,高阶振型的影响是不能忽视的，并且基本振型也不是直线形分布而是非线性分布的。
由于桥墩在地震作用下，桩与上相互作用，土层之间发生的相对位移可对桥墩受力产生不可忽略的影响。为寻找适合于桥墩桩上相互作用计算模型的侧向推力分布模式，本文采用了测向推力和侧向推力加上层相对位移两种情况四种模式加以分析比较。
（l）侧向推力
模式A：
其中，Fi为在第i节点施加的推力；n为节点总数；φmi，φmj是第m阶正规化振型i，j节点的振幅；Wi，Wj为i，j节点的重力荷载；Vb为基底剪力。
模式B：
其中，hi，hj为节点i，j距基底的高度；指数及规定为：
模式C：
由于上部结构重量集中于墩顶，且其重量通常占桥墩承台以上总重的 70 ％以上，若按单质点体系考虑，则侧向推力可直接施加在墩顶：
Fl=Vb （4）
（2）侧向推力加上层相对位移
模式D：
由上层等效线性地震反应分析程序SHAKE，可求得在一定地震水平下各上层对桩底上层的相对位移，将此相对位移施加在各节点上。
·第3步：求出结构在恒载作用下的内力和自振周期。
·第4步：在侧向商载作用下，进行逐步线弹性计算
其分步原则是：将总侧向荷载乘上一个荷载分配系数得到该步的分简载，在分荷载作用下，能够使一个节点或一批节点形成塑性铰，计算出各单元的内力和位移，改变形成塑性铰处的单元刚度?？枷乱徊郊扑闶?，用的是上一步修正后的刚度，计算结束后将结果与上一步的结果相叠加。最后一步的荷载分配系数为1。
·第5步：将第3步计算成果进行整理，得到墩底剪力一墩顶位移关系图。
·第6步：换算为一个等效单自由度体系
使用反应谱来确定地震反应，需要考虑非线性特性，因此，原则上要求一个单自由度体系。假定桥墩的变形形状Φ为常量，且在遭受基底运动时不改变其形状。位移向量U可定义为：
U＝ΦDt （5）
式中，Dt为特征点的横向位移，Φ为墩顶幅值为1的正规化振型。
由多自由度体系的振动方程和侧向荷载分布模式的假定，经过变换就可得到等效单自由度体系的振动方程：
常数c将多自由度体系转为单自由度体系。这里使用同样的常数来进行力和位移的转换，因而等效单自由度的初始刚度等于多自由度体系的初始刚度。这种特性也正是假定测向荷载分布模式的原因(公式(1))。
基于上述多自由度体系与等效单自由度体系的变换关系，就可将墩底剪力Vb-墩顶位移 Dt关系曲线转换为加速度SA一位移 SD关系曲线：
式中，Wi是施加在各节点的重力荷载。
多自由度体系的力-位移关系是多线形的，而等效单自由度体系是双线形的力-位移关系。有多种方法来进行双线形近似，本文利用多线形曲线和双线形曲线下的面积相等来近似。
·第7步：确定桥墩的地震响应
将上一步得到的加速度SA-位移SD关系曲线，与相应地震波的弹性加速度-位移反应谱（ADRS）（Mahaney，1993）绘在同一张图中。这里将Pushover分析得到的曲线称为能力曲线，而将反应谱称为需求曲线（Freeman，1975），能力曲线与需求曲线的交点即为相应地震水平下的位移反应。
由弹性加速度位移反应谱只能得到相应的弹性位移，而结构在地震作用下通常都已进人非线性状态，要得到非弹性反应谱，比较简便的方法是使用折减系数Rμ（Vidi。，1994）：
式中，μ是延性系数，即位移D与屈服位移Dy的比值，Fy是屈服力，De，Fe分别为弹性位移和弹性力。
对于理想弹塑性单自由度体系，Rμ可定义为
式中，T为单自由度体系的自振周期，Tc是场地的卓越周期。显然，将公式（15）得到的折减系数Rμ应用于弹性反应谱，不仅是屈服力要折减（公式（13）），而且位移也要折减（公式（14））以得到弹塑性位移。对于短周期结构，弹塑性位移比弹性位移大，而对于长周期结构（除特长周期外），完全可以假定弹塑性位移等于弹性位移。
三、计算实例
计算对象为日本神户一座三跨连续梁桥的单往武钢筋混凝土桥墩【9】，见图1所示，墩柱高度12.4m，直径1.8m；承台下布置6根桩基础，直径1.0m；上部结构反力为3050kN。该桥墩在1995年日本阪神地震中遭到了严重的破坏，破坏形态为：墩柱中部和底部生产弯曲破坏，桩基础上部和中部有多处开裂。
1．计算资料
（1）材料特性：墩柱与桩基的混凝土抗压强度σck=27N／平方毫米，弹性模量Ec=26500N／平方毫米，比重γ=2.5t/立方米，泊松比μ=0.167。墩柱上部竖向钢筋采用单层40φ32，底部采用双层40φ32钢筋，箍筋均采用φ16；桩基础竖向钢筋采用20φ25钢筋，箍筋为φ13；钢筋的屈服强度σcy=356N／平方毫米，弹性模量Es=206000 N／平方毫米。
（2）土弹簧刚度与土层相对位移：为模拟桩与土之间的相互作用，将土对桩的作用等效为土弹簧。土弹簧刚度分别采用"M法"和专用程序SHAKE来确定，SHAKE能同时计算出土层的相对位移【10】，结果见表1所示。
（3）加速度位移反应谱：JMA波（1995年日本神户海洋气象台记录波NS成分）的反应谱见图3中的需求曲线，临界阻尼采用5％。
2．计算模型的建立
计算模型采用二维梁单元模型，考虑栈桥向的反应，其中，墩顶扩大部和承台采用线性梁单元模拟，墩柱及桩基采用非线性单元，桩单元划分长度与上层深度相同。上弹簧采用二力杆模拟，共分别个单元。计算模型见图2所示。
四、计算分析与结果比较
采用Pllshover专用计算程序自动完成分析步骤的第3步。为进行结果的分析比较，非线性时程分析采用CANNY程序计算。
1．地震峰值响应的确定一
采用M法土弹簧刚度，桥墩自振周期T1＝0.945，T2=0.018.由于一阶振型的振型参与系数为1.051，而二阶振型的振型参与系数仅为0.084，因此对于侧向推力模式A只考虑一阶振型。将Pushover计算得到的墩底剪力-墩顶关系曲线按照公式（11）和（12）换算为SA-SD的形式，见图3中的能力曲线。图中虚线与需求曲线的交点，即为弹性反应值。根据公式（l3）～（16）进行非弹性休整。由于T≥T0，非弹性位移反应值等于弹性位移反应值，点划线与能力曲线的交点所对应的纵坐标即可换算为相应的非弹性剪力。将上述结果列入表2，同时与非线性时程反应分析结果相比较。
从表2中可以看出，Pushover分析得到的墩顶位移和墩底剪力与时程分析的结果吻合较好。
2．不同侧向推力模式的影响
当墩底剪力相同时（Vb＝1650），采用三种测向推力模式分别计算列入表 3。三种测向推力模式得出的结果较为接近．采用模式A得出的屈服位移和屈服剪力最小，相应地震的墩顶位移反应与时程分析结果最为接近，但由于桥墩重量主要集中于墩顶，为简化计算，完全可以采用模式C。
3．不同土弹簧刚度和土层相对位移的影响
针对桩上相互作用计算模型的特点，采用侧向推力加上层相对位移的荷载模式，分别计算在JMA地震波作用下，PGA＝0.2g和PGA＝03g两种工况。各种工况的墩顶位移一墩底剪力关系见图4所示。仅土弹簧刚度的改变对墩柱的位移和剪力的影响很小，也即对地面以上结构的影响很小，墩往最先屈服，且达到最大位移时，桩基仍处于线弹性状态。对桩基施加土层相对位移后，桩预先于墩柱屈服，墩柱的屈服位移增大，有效刚度减小，其地震反应相应增大，且上层相对位移越大，反应越大。从上述分析可见，土层相对位移对桩基破坏起了决定性的作用。
五、结论
（1）采用本文总结的钢筋混凝土桥墩非线性Pushover分析方法进行实例计算，确定出结构的能力曲线后，借助于加速度一位移谱（ADRS），可迅速得到结构弹塑性地震响应的峰值。
（2）采用三种测向推力模式分别计算，模式A与时程分析结果最为接近，但由于桥墩重量主要集中于墩顶，为简化计算，完全可以采用模式C.
（3）对于桩上相互作用计算模型，仅土弹簧刚度的改变对地面以上结构影响很小。对桩基施加工层相对位移，桩顶先于墩柱屈服，墩柱的屈服位移增大，有效刚度减小，其地震反应相应增大，桩基破坏主要由于土层相对位移引起。
谢辞：感谢王君杰老师对本文提供的帮助以及刘东同志提供的土弹簧刚度资料。
参考文献
［1］叶燎原，潘文．结构静力弹塑性分析（push-over）的原理和计算实例。建筑结构学报，2000，（1）
[2]杨溥，李英民等．结构静力弹塑性分析（Push-over）方法的改进．建筑结构学报，2000，（1）
[3] Kent K. Sasaki, Sigmund A.Freeman. Multi- Mode Pushover Procedure (MMP) - a Method to Identify the Effects of Higher Modes in a Pushover Analysis. 6th U. S. National Conference on Earthquake Engineering.
[4] A. S. Moghadam, M. Eeri. Pushover Analysis for Asymmetrical Multistorey Buildings. 6th U. S. National Conference on Earthquake Engineering.
[5] Ghobarah A, Abou - Elfath H and Biddah a. Response - based damage assessment of strutures. Earthquake Engng. Struct. Dyn. 28, 1999,79 ~ 104.
[6] Kilar V and Fajfaar P.Simple push-- over analysis of asymmetric buildings. Earthquake Engng. Struct. Dyn. 26, 1997,233 ~ 249
[7] P. Fajfar, P. Gaspersic. A Simplified Nonlinear method for Seismic Evaluation of RC Bridge. 6th U. S. National conference on Earthquake Engineering.
［8」孙利民，后藤洋三．桩基础桥墩的非线性地震反应分析（日文）．第25届日本地震工学研究发表会论文集，P873- 840， 1999.7
关键词 Pushover分析 桩土相互作用 土弹簧
一、引言
Pushover分析方法与地震反应谱相结合，成为一种结构非线地震．响应的简化计算方法，能够计算出结构从线弹性、屈服一直到极限倒塌状态的内力、变形、塑性铰位置和转角，找出结构的薄弱部位，甚至能够得出比非线性时程分析更多的重要信息。通过Pushover分析，可以确定结构所能承受的地震烈度及在地震作用下能否达到抗震性能标准，从而判断桥梁是否需要进行加固及加固的先后顺序。这种方法主要用于进行地震作用下的变形验算，尤其是大震作用下的抗倒塌验算。
早在70年代初，Freeman就首次提出了Pushover方法，并将其与地震反应谱相结合，称之为能力谱方法，后为Tri Service两水准抗震设计规程所采用，在美国 ATC一33、ATC-40规范中也引入了能力谱方法。近年来，有关Pushover分析方法的应用和研究仍在逐渐深入，V.Kilar[6]利用伪三维教学律型讲行了非对称建筑结构的Pushover分析，K.Sasaki[3]考虑了高阶模态的影响，P．Fajfar[7]在该方法的基础上发展了N2方法。A.Ghobarah[5]提出利用两次Pushover分析结果来计算结构的损伤指数。该方法近年来引入我国后，正逐渐得到推广和应用。
二、分析步骤
Pushover分析方法多用于剪切型或框架型建筑结构，且具体实施方法有所不同。利用Pushover方法进行桥墩地震响应分析的实施步骤及原理，本文总结如下：
·第1步：数据准备
建立桥墩桩上相互作用计算模型所需的参数，包括几何尺寸腐面特性、土弹簧刚度，对于采用非线性梁单元的墩柱和桩应求出截面的弯矩一轴力相互作用曲线，也即屈服面。此外还需要一条弹性加速度位移反应谱。
·第2步：确定侧向荷载分布模式
Pushover分析的关键之一就是选择适当的侧向推力分布模式，结构在这些侧向力的作用下逐步达到目标位移或倒塌状态。侧向推力分布模式与地震作用下结构产生的惯性荷载密切相关。显然侧向推力分布的相对值是随结构单元的屈服范围而改变的，因此只能近似地假定侧向推力分布系数为一常数。对于多层建筑结构，通常假定测向推力分布模式与结构的一阶振型相似。随着楼层的增高,高阶振型的影响是不能忽视的，并且基本振型也不是直线形分布而是非线性分布的。
由于桥墩在地震作用下，桩与上相互作用，土层之间发生的相对位移可对桥墩受力产生不可忽略的影响。为寻找适合于桥墩桩上相互作用计算模型的侧向推力分布模式，本文采用了测向推力和侧向推力加上层相对位移两种情况四种模式加以分析比较。
（l）侧向推力
模式A：
其中，Fi为在第i节点施加的推力；n为节点总数；φmi，φmj是第m阶正规化振型i，j节点的振幅；Wi，Wj为i，j节点的重力荷载；Vb为基底剪力。
模式B：
其中，hi，hj为节点i，j距基底的高度；指数及规定为：
模式C：
由于上部结构重量集中于墩顶，且其重量通常占桥墩承台以上总重的 70 ％以上，若按单质点体系考虑，则侧向推力可直接施加在墩顶：
Fl=Vb （4）
（2）侧向推力加上层相对位移
模式D：
由上层等效线性地震反应分析程序SHAKE，可求得在一定地震水平下各上层对桩底上层的相对位移，将此相对位移施加在各节点上。
·第3步：求出结构在恒载作用下的内力和自振周期。
·第4步：在侧向商载作用下，进行逐步线弹性计算
其分步原则是：将总侧向荷载乘上一个荷载分配系数得到该步的分简载，在分荷载作用下，能够使一个节点或一批节点形成塑性铰，计算出各单元的内力和位移，改变形成塑性铰处的单元刚度?？枷乱徊郊扑闶?，用的是上一步修正后的刚度，计算结束后将结果与上一步的结果相叠加。最后一步的荷载分配系数为1。
·第5步：将第3步计算成果进行整理，得到墩底剪力一墩顶位移关系图。
·第6步：换算为一个等效单自由度体系
使用反应谱来确定地震反应，需要考虑非线性特性，因此，原则上要求一个单自由度体系。假定桥墩的变形形状Φ为常量，且在遭受基底运动时不改变其形状。位移向量U可定义为：
U＝ΦDt （5）
式中，Dt为特征点的横向位移，Φ为墩顶幅值为1的正规化振型。
由多自由度体系的振动方程和侧向荷载分布模式的假定，经过变换就可得到等效单自由度体系的振动方程：
常数c将多自由度体系转为单自由度体系。这里使用同样的常数来进行力和位移的转换，因而等效单自由度的初始刚度等于多自由度体系的初始刚度。这种特性也正是假定测向荷载分布模式的原因(公式(1))。
基于上述多自由度体系与等效单自由度体系的变换关系，就可将墩底剪力Vb-墩顶位移 Dt关系曲线转换为加速度SA一位移 SD关系曲线：
式中，Wi是施加在各节点的重力荷载。
多自由度体系的力-位移关系是多线形的，而等效单自由度体系是双线形的力-位移关系。有多种方法来进行双线形近似，本文利用多线形曲线和双线形曲线下的面积相等来近似。
·第7步：确定桥墩的地震响应
将上一步得到的加速度SA-位移SD关系曲线，与相应地震波的弹性加速度-位移反应谱（ADRS）（Mahaney，1993）绘在同一张图中。这里将Pushover分析得到的曲线称为能力曲线，而将反应谱称为需求曲线（Freeman，1975），能力曲线与需求曲线的交点即为相应地震水平下的位移反应。
由弹性加速度位移反应谱只能得到相应的弹性位移，而结构在地震作用下通常都已进人非线性状态，要得到非弹性反应谱，比较简便的方法是使用折减系数Rμ（Vidi。，1994）：
式中，μ是延性系数，即位移D与屈服位移Dy的比值，Fy是屈服力，De，Fe分别为弹性位移和弹性力。
对于理想弹塑性单自由度体系，Rμ可定义为
式中，T为单自由度体系的自振周期，Tc是场地的卓越周期。显然，将公式（15）得到的折减系数Rμ应用于弹性反应谱，不仅是屈服力要折减（公式（13）），而且位移也要折减（公式（14））以得到弹塑性位移。对于短周期结构，弹塑性位移比弹性位移大，而对于长周期结构（除特长周期外），完全可以假定弹塑性位移等于弹性位移。
三、计算实例
计算对象为日本神户一座三跨连续梁桥的单往武钢筋混凝土桥墩【9】，见图1所示，墩柱高度12.4m，直径1.8m；承台下布置6根桩基础，直径1.0m；上部结构反力为3050kN。该桥墩在1995年日本阪神地震中遭到了严重的破坏，破坏形态为：墩柱中部和底部生产弯曲破坏，桩基础上部和中部有多处开裂。
1．计算资料
（1）材料特性：墩柱与桩基的混凝土抗压强度σck=27N／平方毫米，弹性模量Ec=26500N／平方毫米，比重γ=2.5t/立方米，泊松比μ=0.167。墩柱上部竖向钢筋采用单层40φ32，底部采用双层40φ32钢筋，箍筋均采用φ16；桩基础竖向钢筋采用20φ25钢筋，箍筋为φ13；钢筋的屈服强度σcy=356N／平方毫米，弹性模量Es=206000 N／平方毫米。
（2）土弹簧刚度与土层相对位移：为模拟桩与土之间的相互作用，将土对桩的作用等效为土弹簧。土弹簧刚度分别采用"M法"和专用程序SHAKE来确定，SHAKE能同时计算出土层的相对位移【10】，结果见表1所示。
（3）加速度位移反应谱：JMA波（1995年日本神户海洋气象台记录波NS成分）的反应谱见图3中的需求曲线，临界阻尼采用5％。
2．计算模型的建立
计算模型采用二维梁单元模型，考虑栈桥向的反应，其中，墩顶扩大部和承台采用线性梁单元模拟，墩柱及桩基采用非线性单元，桩单元划分长度与上层深度相同。上弹簧采用二力杆模拟，共分别个单元。计算模型见图2所示。
四、计算分析与结果比较
采用Pllshover专用计算程序自动完成分析步骤的第3步。为进行结果的分析比较，非线性时程分析采用CANNY程序计算。
1．地震峰值响应的确定一
采用M法土弹簧刚度，桥墩自振周期T1＝0.945，T2=0.018.由于一阶振型的振型参与系数为1.051，而二阶振型的振型参与系数仅为0.084，因此对于侧向推力模式A只考虑一阶振型。将Pushover计算得到的墩底剪力-墩顶关系曲线按照公式（11）和（12）换算为SA-SD的形式，见图3中的能力曲线。图中虚线与需求曲线的交点，即为弹性反应值。根据公式（l3）～（16）进行非弹性休整。由于T≥T0，非弹性位移反应值等于弹性位移反应值，点划线与能力曲线的交点所对应的纵坐标即可换算为相应的非弹性剪力。将上述结果列入表2，同时与非线性时程反应分析结果相比较。
从表2中可以看出，Pushover分析得到的墩顶位移和墩底剪力与时程分析的结果吻合较好。
2．不同侧向推力模式的影响
当墩底剪力相同时（Vb＝1650），采用三种测向推力模式分别计算列入表 3。三种测向推力模式得出的结果较为接近．采用模式A得出的屈服位移和屈服剪力最小，相应地震的墩顶位移反应与时程分析结果最为接近，但由于桥墩重量主要集中于墩顶，为简化计算，完全可以采用模式C。
3．不同土弹簧刚度和土层相对位移的影响
针对桩上相互作用计算模型的特点，采用侧向推力加上层相对位移的荷载模式，分别计算在JMA地震波作用下，PGA＝0.2g和PGA＝03g两种工况。各种工况的墩顶位移一墩底剪力关系见图4所示。仅土弹簧刚度的改变对墩柱的位移和剪力的影响很小，也即对地面以上结构的影响很小，墩往最先屈服，且达到最大位移时，桩基仍处于线弹性状态。对桩基施加土层相对位移后，桩预先于墩柱屈服，墩柱的屈服位移增大，有效刚度减小，其地震反应相应增大，且上层相对位移越大，反应越大。从上述分析可见，土层相对位移对桩基破坏起了决定性的作用。
五、结论
（1）采用本文总结的钢筋混凝土桥墩非线性Pushover分析方法进行实例计算，确定出结构的能力曲线后，借助于加速度一位移谱（ADRS），可迅速得到结构弹塑性地震响应的峰值。
（2）采用三种测向推力模式分别计算，模式A与时程分析结果最为接近，但由于桥墩重量主要集中于墩顶，为简化计算，完全可以采用模式C.
（3）对于桩上相互作用计算模型，仅土弹簧刚度的改变对地面以上结构影响很小。对桩基施加工层相对位移，桩顶先于墩柱屈服，墩柱的屈服位移增大，有效刚度减小，其地震反应相应增大，桩基破坏主要由于土层相对位移引起。
谢辞：感谢王君杰老师对本文提供的帮助以及刘东同志提供的土弹簧刚度资料。
参考文献
［1］叶燎原，潘文．结构静力弹塑性分析（push-over）的原理和计算实例。建筑结构学报，2000，（1）
[2]杨溥，李英民等．结构静力弹塑性分析（Push-over）方法的改进．建筑结构学报，2000，（1）
[3] Kent K. Sasaki, Sigmund A.Freeman. Multi- Mode Pushover Procedure (MMP) - a Method to Identify the Effects of Higher Modes in a Pushover Analysis. 6th U. S. National Conference on Earthquake Engineering.
[4] A. S. Moghadam, M. Eeri. Pushover Analysis for Asymmetrical Multistorey Buildings. 6th U. S. National Conference on Earthquake Engineering.
[5] Ghobarah A, Abou - Elfath H and Biddah a. Response - based damage assessment of strutures. Earthquake Engng. Struct. Dyn. 28, 1999,79 ~ 104.
[6] Kilar V and Fajfaar P.Simple push-- over analysis of asymmetric buildings. Earthquake Engng. Struct. Dyn. 26, 1997,233 ~ 249
[7] P. Fajfar, P. Gaspersic. A Simplified Nonlinear method for Seismic Evaluation of RC Bridge. 6th U. S. National conference on Earthquake Engineering.
［8」孙利民，后藤洋三．桩基础桥墩的非线性地震反应分析（日文）．第25届日本地震工学研究发表会论文集，P873- 840， 1999.7
